몬티홀 문제와 확률의 문제

예전에 한창 이슈였던 몬티홀 문제,

몬티홀 문제에는 우리를 착각하게 하는 요소가 있는데, 여기에 대해서 이야기를 해볼까 한다.

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우선 몬티홀 문제가 궁금하다면, 아래를 열어서 보도록 하자.

세 개의 문 중에 하나를 선택하여 문 뒤에 있는 선물을 가질 수 있는 게임쇼에 참가했다. 

한 문 뒤에는 자동차가 있고, 나머지 두 문 뒤에는 염소가 있다. 

 

이때 어떤 사람이 예를 들어 2번 문을 선택했을 때, 

게임쇼 진행자는 1번 문을 열어 문뒤에 염소가 있음을 보여주면서 2번 대신 3번을 선택하겠냐고 물었다. 

 

참가자가 자동차를 가지려할 때 원래 선택했던 번호를 바꾸는 것이 유리할까?

아니면 바꾸지 않는 것이 유리할까?

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몬티홀 문제가 시사하는 점을 보려고 한다면, 아래를 보도록 하자.

 

몬티홀 문제에서 경우의 수를 따지면, 선택을 바꾸는 것이 유리한 것으로 보인다.

그 이유는 그림을 보면 알 수 있다.

 

세 경우 중, 바꾸면 당첨이 되는 경우가 두 경우(2/3)고, 바꾸지 않으면 당첨이 되는 경우는 한 경우(1/3)다.

그러니 바꾸는 게 유리하다고 볼 수 있다.

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몬티홀 문제의 오류를 보고자 한다면, 아래를 보도록 하자.

 

몬티홀 문제를 통해서 바꾸는 것이 당첨될 가능성을 높여준다고 생각하는 건 우리의 착각이다.

몬티홀 문제를 통해 파악되는 경우의 수는 내가 당첨될 확률을 올려주는 것이 아니기 때문이다.

 

우리는 선택을 바꾸는 것이 유리한지 살피기 위해서 경우의 수(통계)를 살폈다.

세 가지의 경우를 살폈을 때, 바꾸는 것이 당첨이 되는 상황으로 이어졌다.

하지만 문제는 나의 경우에도 선택을 바꾸는 것이 당첨으로 이어지느냐는 것이다.

이는 저 통계를 살피는 것만으로는 알 수가 없다.

 

100명의 사람이 이 게임에 참가해서, 66명이 선택을 바꾸어 당첨이 되었다고 한다 해도, 똑같다.

선택을 바꾼 사람 중에 34명은 당첨이 되지 않았다는 것인데,

내가 66명에 해당될지 34명에 해당될지는 전혀 알 수가 없다.

 

즉 앞선 사례는 그저 당첨의 비율을 보여줄 뿐이지, 내가 그 비율 중 어디에 속할 것인지를 드러내주지는 않는다.

그렇기에 나의 당첨확률은 66%가 아니라 당첨되거나 안 되는 50%일 수 밖에 없다.